今週の積分 8th（2019年横浜市立大学・医 第4問⑷）

問題（数学）

こんにちは、もな（@ttfxbjgckkdetnc）です。

今回は今週の積分 8thの答えです。

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テーマ：tan による置換

被積分関数 \displaystyle{\frac{1}{sin ^3\,x\,cos\,x}} の形を見ると、分母を sin\,x だけで整理すればうまくいきそうですが...

こちらが答えとなります。  f:id:monakokushi:20200307124231j:plain

本問に対する誘導が⑴〜⑶という形でついていますが、誘導なしで初見で解いてみました。

最初に述べた方針でも sin\,x の有理関数の形になるので原理的には積分できますが、今回は   tan\,x = t という置換でうまくいきました。

被積分関数の分母に三角関数の冪乗がある場合は   tan\,x = t の置換も一考してみましょう。

評価 ★★★★☆

方針の立て方の難しさから 評価は★★★★☆とします。

ちなみに⑴〜⑶の誘導は下のようになっているので参考までに。

f:id:monakokushi:20200307124346p:plain
 

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今週の積分 7th（2018年横浜市立大学・医 第4問⑷）

問題（数学）

こんにちは、もな（@ttfxbjgckkdetnc）です。

今回は今週の積分 7thの答えです。

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テーマ：tan による置換

被積分関数 \displaystyle{\frac{1}{cos ^3x}} の形を見ると、分母分子に cos\,x をかければうまいこと整理できそうですが...

こちらが答えとなります。 

f:id:monakokushi:20200304170338j:plain

本問に対する誘導が⑴〜⑶という形でついていますが、誘導なしで初見で解いてみました。

今回は分母分子に cos x をかけるという方針は取らず、  tan\,x = pという置換に進むことを考えました。

積分範囲が [0,\, \displaystyle{\frac{\pi}{4}}]に着目すると、置換した後の積分範囲が [0,\,1] と綺麗な形になることがヒントなのでは？と考えて、このような発想に至ることができました。

途中 \displaystyle{\int \sqrt{1 + x ^2}\,dx} の形の積分が出てきますが、これは x + \sqrt{1 + x ^2} = t の置換でうまくいくことは覚えておきましょう。

評価 ★★★★★

特殊な置換を2回 行うことから、評価は★★★★★とします。

ちなみに⑴〜⑶の誘導は下のようになっているので参考までに。

f:id:monakokushi:20200304173444j:plain

 

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今週の積分 6th（2019年東京大学理科 第1問）

問題（数学）

こんにちは、もな（@ttfxbjgckkdetnc）です。

今回は今週の積分 6thの答えです。

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テーマ：方針の検討

こちらが答えとなります。

 f:id:monakokushi:20200304160911p:plain

うまく変数置換すれば楽に計算できそうな意味深な形をしていますが、ここでは現実的な解答を示しました。

とりあえずカッコの中身を展開して、4つの項にそれぞれ分けて計算します。
  • 前2項（積分A）は簡単に積分できる形なので、さくっと計算します。
  • 第3項（積分B）は部分積分を行うと 積分A の計算で出てきた形が現れるので計算量を減らせますね！
  • 第4項（積分C）はおなじみの x = tan\theta の置換を行うとうまく整理されます。

評価 ★★★★☆

最初にどのような方針で解くのかを考えさせる問題でした。

本番では絶対落としたくない単なる積分問題であるからこそ、序盤に1手2手先まで予測しながら方針を立てられると良いですね！

 

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今週の積分 5th （2012年京都大学理系第2問⑴）

問題（数学）

こんにちは、もな（@ttfxbjgckkdetnc）です。

今週の積分 5th の答えです。

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テーマ：部分積分するかいなか

こちらが答えとなります。

f:id:monakokushi:20200304005946p:plain

被積分関数が（積分しやすい形） \times（微分しやすい形）となっている場合はとりあえず部分積分を考えます。

一見 x ^2 を t などと置換したくなりますが、 \displaystyle{\frac{1}{x ^2}} が \displaystyle{\frac{1}{t}} となり積分すると log t が新たに出てきてしまうので結局計算しにくくなる事に注意しましょう。

スペースの関係上 省略していますが 、x = tan\theta の変数置換において、変数 \theta の範囲と、x と \theta  の微分関係について記述しておきましょう。

評価 ★★★☆☆

上の解答を見れば分かる通り、序盤の方針がずれる事で泥沼にハマる可能性はあるものの計算量自体は重くないので★★★☆☆とします。

 

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もな国試 2nd Season（3月第1週まで）

問題（医学）

こんにちは、もな（@ttfxbjgckkdetnc）です。

3/1 から 3/8 までに出題した問題を正答率と合わせてまとめています。

※もな国試 1st Season の問題は以下のサイトににまとめてあります。

もな国試 1st Season

早押し国試

キーワード国試

 

 

第10問 感染症（正答率 23.3%）

正解は小脳炎です。

感染症の領域では、小脳炎は水痘の合併症として有名です。

※麻疹でも小脳炎を起こしうるようですが、こういう聞き方の場合では「最も起こりにくいもの」と解釈してください。これは国試においても同じです。

第11問 公衆衛生（正答率 31.0%）

正解は🙆‍♀️です。

労災保険は日本国内で労働者として事業主に雇用され賃金を受けている人を対象としています。

第12問 血液（正答率 68.5%）

正解は🙅‍♀️です。

赤血球は毛細血管径よりも大きいので、変な形をした赤血球は柔軟性に乏しく詰まりやすいです。

第13問 複合（正答率 22.2%）

正解は細菌性肝膿瘍です。

  • 卵巣に発生した子宮内膜症は「チョコレート嚢胞」
  • H. influenzaeは「チョコレート寒天培地」で培養
  • メトヘモグロビン血症は重度のチアノーゼにより血液が「チョコレート様」

となります。

ちなみに「チョコレート様」の内容物がドレナージされるのはアメーバ性肝膿瘍です。

第14問 小児科（正答率 34.7%）

正解は腹壁破裂です。

腹壁破裂は約1%に染色体異常の合併が見られます。

第15問 小児科（正答率 60.2%）

正解は完全大血管転位症です。

四腔断面のみでは診断困難なことが多い完全大血管転位症や総肺静脈還流異常症は、出生直後から加療が必要なのにもかかわらず出生前診断率が低いことで知られています。

第15問 眼科（正答率 7.4%）

正解は外傷に対して強いです。

ボクシングなどの格闘技をする人は眼に強い衝撃が加わりフラップがずれてしまう危険性があるため、LASIK（Laser-assisted in Situ Keratomileusis）は推奨できません。

その代わりにフラップを形成しないPRK（Photorefractive Keratectomy）を選択することができます。

第16問 循環器（正答率 77.9%）

正解は高K血症です。

T波の増高ではHyper acute T waveと高K血症がまず鑑別に上がりますが、

  • Hyper acute T wave ：左右非対称で裾野が広い
  • 高K血症：左右対称でシャープ

という特徴があります。

つまり、T波の増高をみたらどちらの可能性も考慮した上で、すぐにカリウムの値のチェックと心筋梗塞のマネジメントを並行して行う必要があるということですね。

※Hyper acute T waveとは、ST上昇に先んじて心筋梗塞の発症数時間以内の超急性期にみられる所見です。 

第17問 皮膚科（正答率 %）

正解は硬化性苔癬です。

表皮が肥厚した病変では、約30％に外陰部の有棘細胞癌が出現するという報告があります。

第18問 血液（正答率 %）

正解は🙆‍♀️です。

鎌状赤血球症では、赤血球の寿命が10〜30日と格段に短いため骨髄の造血能を上回る赤血球の消耗がみられます。ここにパルボウイルスB19による感染赤芽球の成熟障害が重なり、著しい貧血をきたします。

国試的には『無形成発作』といえば遺伝性球状赤血球症ですが、先天性溶血性貧血を起こす疾患全般に共通することは覚えておきましょう。

もな国試はM6後半になるにつれて徐々に解けるようになっていくので、今は合ってた間違ってたよりもぼくが出題したテーマの周辺知識を確認することをお勧めします。

 

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今週の積分 4th

問題（数学）

 こんにちは、もな（@ttfxbjgckkdetnc）です。

今回は今週の積分 4thの答えです。

「今週の積分」のアーカイブはこちら！

 

 

テーマ：変数置換の工夫

こちらが答えとなります。

f:id:monakokushi:20200303212000j:plain

本問は変数の置換をうまくできるかで計算量が大きく変わってきます。

この他にも \displaystyle{t=tan\frac{x}{2}} という置換を行うと

 

\begin{aligned} \tan x = \frac{2t}{1-t ^2}\\ \sin x = \frac{2t}{1+t ^2}\\ \cos x = \frac{1-t ^2}{1+t ^2}\\ \end{aligned}
 
の関係によりうまく整理できますので、憶えておきましょう。

評価 ★★★☆☆

上の解答を見れば分かる通り、計算量自体は軽いので★★★☆☆とします。

三角関数の積分における置換は他にもあるのでラインナップをたくさん揃えておきましょう！

 

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もな国試 2nd Season（2月第5週まで）

問題（医学）

こんにちは、もな（@ttfxbjgckkdetnc）です。

第114回医師国家試験が終わった2/9 から 2/29 までに出題した問題を正答率と合わせてまとめました。

※もな国試 1st Season の問題は以下のサイトににまとめてあります。

もな国試 1st Season

早押し国試

キーワード国試

 

 

第1問 必修（正答率 36.5%）

正解は5%です。

20％は主に膠質浸透圧の上昇に用いられます。

第2問 精神科（正答率 70.4%）

正解は🙆‍♀️です。

覚醒剤であるアンフェタミンと同様、精神依存はあり身体依存はありません。

第3問 血液（正答率 36.1%）

正解は4です。

3が形質細胞、5が骨髄芽球、6が後骨髄球、7が分葉核好中球です。

第4問 公衆衛生（正答率 39.4%）

正解は埼玉県です。

現在の日本の粒子線がん治療施設は以下の表のようになっています。

f:id:monakokushi:20200303150728p:plain 

引用：https://www.antm.or.jp/05_treatment/04.html

第5問 皮膚科（正答率 25.2%）

正解は少ない方です。

参考までに、球脊髄性筋萎縮症ではアンドロゲン受容体遺伝子のCAGリピートが38個以上に増えていることで有名です。

第6問 公衆衛生（正答率 49.1%）

正解は3/2です。

処方箋の期限は発効日（2/28）を入れて4日後となります。このとき土日祝日を含むことに注意です。

第7問 公衆衛生（正答率 26.4%）

正解は国民健康保険協会です。

国民健康保険の保険者は都道府県と市区町村、国民健康保険組合です。

ちなみに「国民健康保険協会」という組織は存在しませんので注意してください。

第8問 公衆衛生（正答率 31.8%）

正解は事業者と会社員がそれぞれ負担（折半）です。

これを労使折半といいます。

労災保険の保険料は事業者がすべて負担することと区別しましょう。

第9問 必修（正答率 47.9%）

正解は増加させるです。

ニコチンが副腎からのカテコラミン放出を促進するからと言われています。

問題を作りやすい公衆衛生の割合がどうしても増えてしまいがちなので、なるべく内科外科についての問題を増やしていこうと思います。 

 

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