今週の積分 7th（2018年横浜市立大学・医第4問⑷）

こんにちは、もな（@ttfxbjgckkdetnc）です。

今回は今週の積分 7thの答えです。

今週の積分 7th pic.twitter.com/ePQJivOWYi
— 京瀧 (@ttfxbjgckkdetnc) March 6, 2020

被積分関数 $\displaystyle{\frac{1}{cos ^3x}}$ の形を見ると、分母分子に $cos\,x$ をかければうまいこと整理できそうですが...

解答はここをクリック！

こちらが答えとなります。

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本問に対する誘導が⑴〜⑶という形でついていますが、誘導なしで初見で解いてみました。

今回は分母分子に $cos x$ をかけるという方針は取らず、 $tan\,x = p$ という置換に進むことを考えました。

積分範囲が $[0,\, \displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ ]に着目すると、置換した後の積分範囲が $[0,\,1$ ] と綺麗な形になることがヒントなのでは？と考えて、このような発想に至ることができました。

途中 $\displaystyle{\int \sqrt{1 + x ^2}\,dx}$ の形の積分が出てきますが、これは $x + \sqrt{1 + x ^2} = t$ の置換でうまくいくことは覚えておきましょう。

特殊な置換を2回行うことから、評価は★★★★★とします。

ちなみに⑴〜⑶の誘導は下のようになっているので参考までに。

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ここまで読んでいただきありがとうございます！

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