今週の積分 10th - もなブログ

10こんにちは、もな（@ttfxbjgckkdetnc）です。

今回は今週の積分 9thの答えです。

今週の積分 10th pic.twitter.com/6TNl9bwTBK
— もなはとってももちもちする (@ttfxbjgckkdetnc) March 22, 2020

解答はここをクリック！

こちらが答えとなります。

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被積分関数の分母にルートがあるので、それを外すために三角関数（今回は $tan \theta$ ）で置換します。 $1 + tan^2 \theta = \displaystyle \frac{1}{cos ^2 \theta}$ の関係式を思い出してください。

あとは部分分数分解などおなじみの方法で処理していきますが、最後に不定積分なので変数を $\theta$ から $x$ に戻しておく必要があることに注意します。

上の解答を見てもらえばわかるように、計算量が多くケアレスミスをする可能性が高いので、もう1つの置換方法を紹介したいと思います。

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$\sqrt{x^2 +a^2}$ の形を含む積分の場合、 $t = x+\sqrt{x^2 +a^2}$ の形の置換を行うとうまく処理できることはどこかで1回は見たことがあると思いますが、今回も例に漏れずそれで処理可能です。

$\sqrt{x^2 -2x +5} =\sqrt{(x -1)^2 +2^2}$ と整理できることに注意すると、今回は $t=(x -1) +\sqrt{x^2 -2x +5}$ と置換すればいいことが推測できますね。

この置換は『今週の積分 7th』の問題でも使用していますので、改めて確認しておいてください。解く時間を大幅に短縮してライバルと差をつけましょう！

高校数学に登場する積分問題の中では最高ランクに近いパターンの問題でしたので、評価は★★★★☆とします。

このパターンはこれから何度も登場させますので是非習得しましょう！

ここまで読んでいただきありがとうございます！

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